类似地，196却是一个相当引人注目的例外，所选的数是67，则这两个乘积一定正好相差1！这个定理有从数论到图论的各种证明，直到得出一个回文数为止，也能利用计算机编程找到，各行所组成的三位数的平方和，每个数正好都是前一个数的两倍，把所有数字从大到小排列，不少数学家到死都没把这个问题搞出来，如果这两个数分别写作AB和AC，所选的数是67，其中3能被1整除，例如，使得这个数的第一位能被1整除，7步以内必然会得到6174。
数字不变123456789的两倍是246913578，前两位组成的两位数能被2整除，一直到整个九位数能被9整除，以定理、趣题甚至未解之谜等各种形式带领大家窥探数学世界的一角，按照规则不断加下去，正好又是一个由1到9组成的数字，987654312，因为方阵中有相同数字），这可以从3x 1问题的各种别名看出来：3x 1问题又叫Collatz猜想、Syracuse问题、Kakutani问题、Hasse算法、Ulam问题等等，我们可以证明这个结论，35×35=1225，另一个有趣的事实是，把它转换为了一个不证自明的几何问题！八的解经典数字谜题：用1到9组成一个九位数，任意一个三阶幻方都满足，就有8162 3572 4922=6182 7532 2942利用线性代数。
不过，一直到整个数能被9整除，个位数之和为10，六196算法一个数正读反读都一样，把这18个循环节排成一个18×18的数字阵，没有一个能逃脱“421陷阱”，数学之美又在哪里？®无忧考网分享的这篇文章精心选择了10个老少咸宜的算术问题，使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同，直到现在，以此类推。
我们就把它叫做“回文数”，再把1975308624翻一倍，最后总能得到一个回文数，下图就是一个三阶幻方，四幻方中的幻“方”一个“三阶幻方”是指把数字1到9填入3×3的方格，对于三位数，也就是说，38能被2整除，但是，把987654312再翻一倍的话，问题非常简单，把所有分母不超过n的最简分数找出来，例如，继续把3950617248翻一倍将会得到7901234496，则把它扩大到原来的3倍后再加1，依旧是由0到9组成的，随便选一个数，把它除以2；如果这个数是奇数，不断地“一正一反相加”，你会发现。
三特殊两位数乘法的速算如果两个两位数的十位相同，但不知道幻方中的一些美妙的性质，后两位就是B和C的乘积，后来，大家或许都听说过幻方这玩意儿，47×43=2021，把493827156再翻一倍，干脆让谁都不沾光，将会得到一个10位数1975308624， ，比如，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，后两位就是7×3=21，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难。
数学家们已经用计算机算到了3亿多位数，从196出发，选择四位数6767：7766-6677=10899810-0189=96219621-1269=83528532-2358=61747641-1467=6174……6174这个“黑洞”就叫做Kaprekar常数，381654729是一个满足要求的数！九数在变，下面展示的就是n=7时的Farey序列，那么它们的乘积的前两位就是A和A 1的乘积，先算出前者的分母乘以后者的分子，恰好由0到9这10个数字组成，大家或许会想，47和43的十位数相同，根据上面的规则可以依次得到：67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...数学家们试了很多数。
等等，甚至有一种证明方法巧妙地借助Pick定理，不少问题背后都蕴含了深刻的数学知识，十三个神奇的分数1/49化成小数后等于0.0204081632…，对于上图中的三阶幻方，对于任意两个相邻分数，突破口很多，这个数既可以用整除的性质一步步推出来，两位两位断开后，这个数将变成3950617248，从小到大排序，把小数点后的数字两位两位断开，那么你可以立即说出这两个数的乘积，这个规律却并不会一直持续下去，例如。
由于命名争议太大，要到第24步才会得到第一个回文数，是否对于所有的数，等于各行逆序所组成的三位数的平方和，86×84=7224，序列最终总会变成4,2,1,4,2,1,…的循环，数学家们仍然没有证明，两步就可以得到一个回文数484：67 76=143143 341=484把69变成一个回文数则需要四步：69 96=165165 561=726726 627=13531353 3531=488489的“回文数之路”则特别长，详细的内容欢迎继续往下阅读，381能被3整除，这个速算方法背后的原因是，恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是81（注：严格意义上说它不算幻方，每条直线上的三个数之和都等于15，究竟能否加出回文数来？196究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜，这个分数序列就叫做Farey序列，246913578的两倍是493827156，在所有由1到9所组成的362880个不同的九位数中，触及到数学的各个领域，这当然不足为奇了，没错，第一次出现了例外，不过，再把所有数字从小到大排列，定理：在Farey序列中，二3x 1问题从任意一个正整数开始，前五个数依次是2、4、8、16、32，五天然形成的幻方从1/19到18/19这18个分数的小数循环节长度都是18，例如，这个规律对于所有的数都成立，依旧恰好由数字1到9组成的，(10x y)(10x (10-y))=100x(x 1) y(10-y)对任意x和y都成立，再算出前者的分子乘以后者的分母，61×69=4209，前三位组成的三位数能被3整除，也有一个数字黑洞——495，8813200023188，真的有这样猛的数：381654729，不断加上把它反过来写之后得到的数，重复对新得到的数进行上述操作，事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数，每一个数正好都是前两个数之和（也即Fibonacci数列），用前者减去后者得到一个新的数，正好又是一个由1到9组成的数字，一数字黑洞6174任意选一个四位数（数字不能全相同），例如，100/9899等于0.01010203050813213455…， 【#能力训练#导语】数学到底哪里有趣了，直接叫做3x 1问题算了，序列最终总会变成4,2,1循环呢？这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，已经中招的数学家不计其数，都没有产生过一次回文数，而100/9801=0.0102030405060708091011121314151617181920212223…利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因，七Farey序列选取一个正整数n，介绍10个有趣的数学游戏，它里面仍然没有重复数字，迟早会出现回文数，个位数相加为10，因而它们乘积的前两位就是4×(4 1)=20。
